Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂分别为C的左右焦点，|F₁F₂|=2

3

，且离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆右焦点F₂的直线l和椭圆交于两点A，B，是否存在直线l，使得△OAF₂与△OBF₂的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用焦距概念和离心率公式，从而求出参数a、b、c，得到椭圆的方程；
（2）假设存在，将条件中的面积比转化为向量关系，得到两点纵坐关系，再通过直线和椭圆联立方程组，得到两点的纵坐标关系，从而求出参数k，得到直线l的方程，说明其存在性．

解答： 解：（1）由于|F₁F₂|=2

3

，且离心率e=

3

2

，
则c=

3

，

c

a

=

3

2

，即有a=2，b=

a2-c2

=1，
则椭圆方程为

x2

4

+y²=1；

（2）假设存在直线l，使得△OAF₂与△OBF₂的面积比值为2．
则∵△OAF₂与△OBF₂的面积比值为2，
∴由三角形的面积公式可得，AF₂：BF₂=2，
则

AF2

=2

F2B

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则（

3

-x₁，-y₁）=2（x₂-

3

，y₂），
∴y₁=-2y₂   ①
设直线l的方程为x=ky+

3

，
由

x2+4y2=4 x=ky+ 3

，得到（k²+4）y²+2

3

ky-1=0，
则y₁+y₂=-

2 3 k

k2+4

  ②
y₁y₂=-

1

4+k2

   ③
由①②③得k=±

2 23

23

，
因此存在直线l：x=±

2 23

23

y+

3

，
使得△OAF₂与△OBF₂的面积比值为2．

点评：本题考查了三角形面积公式、椭圆的焦距和离心率公式、韦达定理，以及化归转化的数学思想，有一定的探索性，属于中档题．