Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：a₁=1，S_n-2S_n-1=1，n∈N^*，且n≥2．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）已知c_n=

n

an

（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和T_n，若存在正整数M，m，使m≤T_n＜M对任意正整数n恒成立，求M，m的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n与s_n的关系，两式作差即得结论；
（2）利用错位相减法求得数列{c_n}的前n项和Tn，再利用数列的增减性及放缩法求得T_n的最小值、最大值，即可得证．

解答： 解：（1）当n≥2时，由

Sn-2Sn-1=1 Sn+1-2Sn=1

两式相减得a_n+1-2a_n=0，
又当n=2时，a₂=2，
所以

an+1

an

=2(n∈N*)，
所以{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）得an=2n-1，∴cn=n×(

1

2

)n-1，
∴Tn=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+(n-1)×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1
∴

1

2

Tn=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n-1+n×(

1

2

)n
两式相减得

1

2

Tn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n=2-(n+2)×(

1

2

)n
∴T_n=4-(n+2)×(

1

2

)n-1＜4，
所以M可以取大于等于4的任意整数，
又∵Tn+1-Tn=(n+1)×(

1

2

)n＞0∴T_n≥T₁=1，
综上，存在正整数M，m，使得m≤T_n＜M对任意正整数n恒成立，其中m=1，M≥4且M∈N．

点评：本题主要考查利用公式法求数列的通项公式及数列求和的方法错位相减法的运用，考查学生的运算能力及恒成立问题的转化能力，属中档题．