题目内容
某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高AA1=10m，两底面ABCD，A1B1C1D1是高为2m，面积为10m2的等腰梯形，且∠ADC=θ（0＜θ＜| π |
| 2 |
（1）试将储水窖的造价y表示为θ的函数；
（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取
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考点：基本不等式在最值问题中的应用,棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）过A作AE⊥DC，垂足为E，令AB=x，求出CD，即可将储水窖的造价y表示为θ的函数；
（2）利用导数确定函数的单调性，即可求出最值．
（2）利用导数确定函数的单调性，即可求出最值．
解答：
解：（1）过A作AE⊥DC，垂足为E，则AE=2，DE=
，AD=
，
令AB=x，从而CD=x+
，
故
×2×(x+x+
)=10，
解得x=5-
，CD=5+
，（4分）
所以y=（20+2AD×10）×400+（10AB）×500+（10CD）×100
=8000+8000×
+5000×(5-
)+1000(5+
)=38000+8000(
-
)(0＜θ＜
)（7分）
（2）因为y=38000+8000×
，
所以y′=8000
=
（10分）
令y'=0，则θ=
，
当θ∈(0，
)时，y'＜0，此时函数y单调递减；
当θ∈(
，
)时，y'＞0，此时函数y单调递增．
所以当θ=
时，ymin=38000+8000
=51840．
答：当∠ADC=60°时，等价最低，最低造价为51840元．（15分）
解：（1）过A作AE⊥DC，垂足为E，则AE=2，DE=| 2 |
| tanθ |
| 2 |
| sinθ |
令AB=x，从而CD=x+
| 4 |
| tanθ |
故
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| tanθ |
解得x=5-
| 2 |
| tanθ |
| 2 |
| tanθ |
所以y=（20+2AD×10）×400+（10AB）×500+（10CD）×100
=8000+8000×
| 2 |
| sinθ |
| 2 |
| tanθ |
| 2 |
| tanθ |
| 2 |
| sinθ |
| 1 |
| tanθ |
| π |
| 2 |
（2）因为y=38000+8000×
| 2-cosθ |
| sinθ |
所以y′=8000
| sin2θ-(2-cosθ)cosθ |
| sin2θ |
| 8000(1-2cosθ) |
| sin2θ |
令y'=0，则θ=
| π |
| 3 |
当θ∈(0，
| π |
| 3 |
当θ∈(
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
所以当θ=
| π |
| 3 |
| 3 |
答：当∠ADC=60°时，等价最低，最低造价为51840元．（15分）
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数模型是关键．
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| π |
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