题目内容

某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高AA1=10m，两底面ABCD，A1B1C1D1是高为2m，面积为10m2的等腰梯形，且∠ADC=θ（0＜θ＜
π
2
）．若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元．
（1）试将储水窖的造价y表示为θ的函数；
（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取
3
=1.73）．
考点：基本不等式在最值问题中的应用,棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）过A作AE⊥DC，垂足为E，令AB=x，求出CD，即可将储水窖的造价y表示为θ的函数；
（2）利用导数确定函数的单调性，即可求出最值．
解答： 解：（1）过A作AE⊥DC，垂足为E，则AE=2，DE=
2
tanθ
，AD=
2
sinθ
，
令AB=x，从而CD=x+
4
tanθ
，
故
1
2
×2×(x+x+
4
tanθ
)=10，
解得x=5-
2
tanθ
，CD=5+
2
tanθ
，（4分）
所以y=（20+2AD×10）×400+（10AB）×500+（10CD）×100
=8000+8000×
2
sinθ
+5000×(5-
2
tanθ
)+1000(5+
2
tanθ
)=38000+8000(
2
sinθ
-
1
tanθ
)(0＜θ＜
π
2
)（7分）
（2）因为y=38000+8000×
2-cosθ
sinθ
，
所以y′=8000
sin2θ-(2-cosθ)cosθ
sin2θ
=
8000(1-2cosθ)
sin2θ
（10分）
令y'=0，则θ=
π
3
，
当θ∈(0，
π
3
)时，y'＜0，此时函数y单调递减；
当θ∈(
π
3
，
π
2
)时，y'＞0，此时函数y单调递增．
所以当θ=
π
3
时，ymin=38000+8000
3
=51840．
答：当∠ADC=60°时，等价最低，最低造价为51840元．（15分）
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数模型是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A、
8π
3
B、3π
C、
10π
3
D、6π
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a-b）2+6，C=
π
3
，则△ABC的面积是（　　）
A、
3
B、
9
3
2
C、
3
3
2
D、3
3
已知数列{an}的前n项和Sn，满足：a1=1，Sn-2Sn-1=1，n∈N*，且n≥2．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）已知cn=
n
an
（n∈N*），数列{cn}的前n项和Tn，若存在正整数M，m，使m≤Tn＜M对任意正整数n恒成立，求M，m的值．
若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{2an+1}是“平方递推数列”；
（Ⅱ）证明数列{lg（2an+1）}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设Tn=（2a1+1）（2a2+1）•…•（2an+1），记bn=log2an+1Tn，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2014成立的n的最小值．
设集合A={x|
x-4
1-x
＞0}，B={x|x2-（a+2）x+2a＜0}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．
若数列{an}满足点（
1
an
，
1
an+1
）（n∈N*）在函数f（x）=x+2n的图象上，且a1=4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）求证：
4
3
≤
a1a2
+
a2a3
+…+
anan+1
＜2．
已知函数f（x）=ln（
e+x2
-x）（其中e为自然数对数的底数），则f（tan
π
12
）+2f（tanπ）+f（tan
11π
12
）=
 
．
已知共焦点F1，F2的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是P，若
F1P
•
F2P
=0，椭圆的离心率e1与双曲线的离心率e2的关系式为（　　）
A、
1
e12
+
1
e22
=2
B、
1
e12
-
1
e22
=2
C、e12+e22=2
D、e22-e12=2

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