Question

12．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，若以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，△ABD的面积为$\sqrt{2}$，则圆F的方程为$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=2．

Answer 1

分析 设l与x轴相交于点M，由F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，可得|FM|=|MB|=|MD|，可得|AF|=|BF|=$\sqrt{2}$p，利用△ABD的面积$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$|BD|•$\sqrt{2}$p，解得p，即可得出．

解答 解：设l与x轴相交于点M，过点A作AN⊥l，垂足为N，则|AN|=|AF|．
∵F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，
∴|FM|=|MB|=|MD|，
∴|AF|=|BF|=$\sqrt{2}$p，
∴△ABD的面积$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$|BD||AN|=$\frac{1}{2}$|BD|•$\sqrt{2}$p=$\frac{1}{2}$×2p×$\sqrt{2}$p=$\sqrt{2}$，解得p=1．
∴圆F的方程为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=2．
故答案为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=2．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、弦长公式、圆的方程及其性质、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．