Question

3．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）²+（y+1）²=1的弦长为2，则$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 12
• C． 16
• D． 6

Answer 1

分析 利用已知条件求出m，n的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：圆（x+3）²+（y+1）²=1的半径为1，圆心（-3，-1）
直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）²+（y+1）²=1的弦长为2，
直线经过圆的圆心．
可得：3m+n=2．
则$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$）（3m+n）=$\frac{1}{2}$（3+3+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$）≥3+$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$=6．
当且仅当m=$\frac{1}{3}$，n=1时取等号．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．