Question

已知函数f（x）满足f(x+

1

2

)=log

1

2

(x2-

9

4

)，且函数g(x)=log

1

2

(2x-2)
（1）求函数f（x）的表达式及定义域；
（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）通过换元法求出函数的解析式，利用对数函数的定义域，直接求解函数f（x）的定义域；
（2）通过f（x）＞g（x），利用对数不等式的解法借助函数的单调性求x的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）满足f(x+

1

2

)=log

1

2

(x2-

9

4

)，
令t=x+

1

2

，∴x=t-

1

2

．
∴f(x+

1

2

)=log

1

2

(x2-

9

4

)，
化为f（t）=log

1

2

((t-

1

2

)2-

9

4

)=log

1

2

(t2-t-2)．
∴函数f（x）的表达式：f（x）=log

1

2

(x2-x-2)．
要使函数有意义，必须x²-x-2＞0，解得x＜-1或x＞2．
函数的定义域：{x|x＜-1或x＞2}；
（2）由f（x）＞g（x），又f（x）=log

1

2

(x2-x-2)且函数g(x)=log

1

2

(2x-2)，
∴log

1

2

(x2-x-2)＞log

1

2

(2x-2)，
可得

x2-x-2＞0 2x-2＞0 x2-x-2＜2x-2

⇒

x＜-1或x＞2 x＞1 0＜x＜3

⇒2＜x＜3．
∴x的取值范围（2，3）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，对数不等式的求法，考查转化思想以及计算能力．