Question

已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），则（　　）

• A、f（x）必是偶函数
• B、当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称
• C、若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数
• D、f（x）有最大值|a²-b|

Answer 1

考点：带绝对值的函数,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：举反例a=b=1排除A；通过a=b=2，排除B；利用a²-b≤0时，函数y=x²-2ax+b与x轴没有交点，判断函数的单调性，求出单调区间，即可判断C的正误．举反例a=1，b=3排除D．

解答： 解：对于A，当a=b=1，f（x）=|x²-2x+1|不是偶函数，故排除A．
对于B，当a=2，b=2时，有f（x）=|x²-4x+2|，f（0）=f（2），但此函数关于x=1不对称．
对于C，a²-b≤0时，函数y=x²-2ax+b与x轴没有交点，f（x）=|x²-2ax+b|=x²-2ax+b，开口向上，对称轴为x=a，在区间[a，+∞）上单调递增．所以C正确．
对于D，当a=1，b=3 f（x）=|x²-2x+3|=x²-2x+3，函数的开口向上，函数没有最大值．所以D不正确．
故选：C．

点评：本题主要考查了分段函数的性质：函数的奇偶性，函数的最值的求解，函数的对称性，函数的单调性，二次函数性质的应用．是一道综合性比较好的试题．