Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b=3a；
（1）若C=

π

3

，△ABC的面积为

3 3

4

，求a的值；
（2）求

sin(C-A)

sinA

-4sin2

C

2

的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）根据题意，利用三角形的面积公式得到S△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

a2，由△ABC的面积为

3 3

4

建立关于a的等式，解之即可得到边a的值；
（2）根据b=3a利用正弦定理可得

sinB

sinA

=3，再由二倍角的余弦公式将原式化简，通分后再利用两角和与差的正弦加以计算，可得原式的值为1．

解答： 解：（1）∵△ABC中，b=3a，C=

π

3

∴△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

3 3

4

，
即

3 3

4

a2=

3 3

4

，解之得a=1；
（2）∵b=3a，∴由正弦定理得sinB=3sinA，可得

sinB

sinA

=3；
因此，

sin(C-A)

sinA

-4sin2

C

2

=

sin(C-A)

sinA

-2(1-cosC)
=

sin(C-A)+2sinAcosC

sinA

-2=

sinCcosA+cosCsinA

sinA

-2=

sin(C+A)

sinA

-2=

sinB

sinA

-2=1，
即

sin(C-A)

sinA

-4sin2

C

2

的值为1．

点评：本题给出三角形的边a、b的倍数关系，在已知角C与面积的情况下求边a的长，并求关于A、C的三角函数式的值．着重考查了和与差的三角函数公式、三角形的面积公式和正弦定理等知识，属于中档题．