Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（c＞a），cosCcosA=-sinCsinA，sinB=

1

3

．
（1）求sinA的值；
（2）若边长b=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由两角差的余弦公式得到cos（C-A）=0，从而有C=A+

π

2

，由sinB=

1

3

．得到cos2A，再由二倍角的余弦公式，即可得到sinA；
（2）运用正弦定理得到a，再求sinC，由三角形的面积公式：

1

2

absinC，即可得到面积．

解答： 解：（1）∵cosCcosA=-sinCsinA⇒cos（C-A）=0，
∵c＞a?C＞A，∴C=A+

π

2

，
则sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin(

π

2

+2A)=

1

3

⇒cos2A=

1

3

，
即1-2sin²A=

1

3

，
∵A∈（0，

π

2

），∴sinA=

3

3

；
（2）∵

a

sinA

=

b

sinB

?a=

bsinA

sinB

=3

2

，又b=

6

，
∴sinC=sin（

π

2

+A）=cosA=

6

3

，
∴△ABC的面积为

1

2

absinC=

1

2

×3

2

×

6

×

6

3

=3

2

．

点评：本题考查正弦定理和三角形的面积公式的运用，考查三角恒等变换公式的运用，记熟这些公式是迅速解题的关键，属于基础题．