题目内容
设奇函数f（x）定义在（-π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（
）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（
）sinx的解集为 ．
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法
专题：导数的综合应用
分析：设g（x）=
，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．
| f(x) |
| sinx |
解答：
解：设g（x）=
，
∴g′（x）=
，
∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=
=
=g（x）
∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（-π，0）上单调递增．
∵f（
）=0，
∴g（
）=
=0，
∵f（x）＜2f（
）sinx，
∴g（x）＜g（
），x∈（0，π），或g（x）＞g（-
），x∈（-π，0），
∴
＜x＜π，或-
＜x＜0．
故x的不等式f（x）＜2f（
）sinx的解集为（-
，0）∪（
，π）．
故答案为：（-
，0）∪（
，π）
| f(x) |
| sinx |
∴g′（x）=
| f′(x)sinx-f(x)cosx |
| sin2x |
∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=
| f(-x) |
| sin((-x) |
| f(x) |
| sinx |
∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（-π，0）上单调递增．
∵f（
| π |
| 2 |
∴g（
| π |
| 2 |
f(
| ||
sin
|
∵f（x）＜2f（
| π |
| 6 |
∴g（x）＜g（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
故x的不等式f（x）＜2f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
故答案为：（-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之
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