Question

已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a＜0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=（ax²+x-1）e^x+（2ax+1）e^x=x（ax+2a+1）e^x，讨论a的取值范围，从而确定导数的正负，以确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若a=-1，f（x）=（-x²+x-1）e^x在（-∞，-1]]上单调递减，在[-1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，从而求得f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-

3

e

，在x=0处取得极大值f（0）=-1．再由g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m可求得g（x）在x=-1处取得极大值g（-1）=

1

6

+m，在x=0处取得极小值g（0）=m；从而将函数f（x）的图象与函数g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m的图象有3个不同的交点化为

f(-1)＜g(-1) f(0)＞g(0)

，从而求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（ax²+x-1）e^x+（2ax+1）e^x=x（ax+2a+1）e^x，
①若-

1

2

＜a＜0，当x＜0或x＞-

2a+1

a

时，f′（x）＜0；当0＜x＜-

2a+1

a

时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，0]，[-

2a+1

a

，+∞）；单调递增区间为[0，-

2a+1

a

]．
②若a=-

1

2

，f′（x）=-

1

2

x²e^x≤0，
∴f（x）的单调递减区间为R．
③若a＜-

1

2

，当x＜-

2a+1

a

或x＞0时，f′（x）＜0；当-

2a+1

a

＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-

2a+1

a

]，[0，+∞）；单调递增区间为[-

2a+1

a

，0]．
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=（-x²+x-1）e^x在（-∞，-1]]上单调递减，在[-1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-

3

e

，在x=0处取得极大值f（0）=-1．
由g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m，得g′（x）=x²+x．
当x＜-1或x＞0时，g′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1]]上单调递增，在[-1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x=-1处取得极大值g（-1）=

1

6

+m，在x=0处取得极小值g（0）=m．
∵函数f（x）与函数g（x）的图象有3个不同的交点，
∴

f(-1)＜g(-1) f(0)＞g(0)

，解得，-

3

e

-

1

6

＜m＜-1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．