Question

3．刘老师是一位经验丰富的高三理科班班主任，经长期研究，他发现高中理科班的学生的数学成绩（总分150分）与理综成绩（物理、化学与生物的综合，总分300分）具有较强的线性相关性，以下是刘老师随机选取的八名学生在高考中的数学得分x与理综得分y（如表）：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	52	64	87	96	105	123	132	141
理综分数y	112	132	177	190	218	239	257	275

参考数据及公式：$\widehaty=a+bx，b=\frac{{{x_1}{y_1}+{x_2}{y_2}+…+{x_n}{y_n}-n\overline x\overline y}}{{x_1^2+x_2^2+…+x_n^2-n{{\overline x}^2}}}≈1.83，\overline x=100，\overline y=200$．
（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）若小汪高考数学110分，请你预测他理综得分约为多少分？（精确到整数位）；
（3）小金同学的文科一般，语文与英语一起能稳定在215分左右．如果他的目标是在高考总分冲击600分，请你帮他估算他的数学与理综大约分别至少需要拿到多少分？（精确到整数位）．

Answer 1

分析 （1）把$（\overline x，\overline y）$代入回归方程求出回归系数，写出回归方程；
（2）将x=110代入回归方程计算$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）根据题意列出不等式215+x+$\stackrel{∧}{y}$≥600，结合回归方程求出对应x、$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（1）将$（\overline x，\overline y）$代入回归方程$\widehaty=a+1.83x$中，解得a=17，
∴回归方程为$\widehaty=17+1.83x$；
（2）将x=110代入回归方程中，计算
$\widehaty=17+1.83x=218.3≈218$，
预测他理综得分约为218分；
（3）根据题意，215+x+$\stackrel{∧}{y}$≥600，
∴x+1.83x+17≥385，
解得x≥$\frac{368}{2.83}$≈130；
∴$\stackrel{∧}{y}$=17+1.83×130=254.9≈255，
故他的数学与理综分别至少需要拿到130分与255分．

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．