Question

18．（B组题）设定义在R上的奇函数y=f（x）满足：对任意的x∈R，总有f（x-4）=f（x+4），且当x∈（0，4）时，$f（x）={e^{x-\frac{π}{2}}}+|{cosx}|-2$．则函数f（x）在区间[-8，16）上的零点个数是（　　）

• A． 6
• B． 9
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 作出y=e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$和y=2-|cosx|的函数图象，根据图象得出f（x）在（0，4）上的零点个数，再根据奇函数的性质可知f（x）在一个周期内有3个零点，从而得出答案．

解答 解：∵f（x-4）=f（x+4），∴f（x）的周期为8，
令e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$+|cosx|-2=0可得e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$=2-|cosx|，
作出y=e${\;}^{x-\frac{π}{2}}$和y=2-|cosx|的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）在（0，4）上有1个零点，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-4，0）上有1个零点，
又f（0）=0，∴f（x）在（-4，4）上有3个零点，
∵f（x）在一个周期内有3个零点，
∴f（x）在[-8，16）上有9个零点．
故选B．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的关系，奇函数的性质，属于中档题．