Question

8．已知函数f（x）=sin2x+acosx+x在点x=$\frac{π}{6}$处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（$\frac{π}{6}$）=0，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+acosx+x，
f′（x）=2cos2x-asinx+1，
f′（$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{3}$-asin$\frac{π}{6}$+1=0，
解得：a=4；
（2）由（1）得：f（x）=sin2x+4cosx+x，
f′（x）=2cos2x-4sinx+1=2-4sin²x-4sinx+1=-（2sinx+1）²+4，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$＜x＜$\frac{7π}{6}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）递增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）递减，在（$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）递增，
∴f（x）的最大值是f（$\frac{7π}{6}$）或f（$\frac{π}{6}$），
而f（$\frac{7π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-2+$\frac{7π}{6}$＜f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$，
故f（x）的最大值是f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及三角函数问题，是一道中档题．