Question

13．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=30°，E是BC的中点，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$ （　　）

• A． $\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{3+\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由条件可得到$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$，而$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=1$，并且∠BAD=30°，这样进行向量数量积的运算即可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}$的值．

解答 解：如图，根据条件：

$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AE}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$1+\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$
=$\frac{6+3\sqrt{3}}{4}$．
故选：A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，相等向量的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．