Question

17．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的最大值为5．

Answer 1

分析 先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的最大值．

解答 解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
故|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|≤$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{2}$=5（当且仅当|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$时取“=”）
故答案为：5．

点评 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|²+|PB|²是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．