Question

16．△ABC中，AD⊥BC，且$\frac{1}{A{C}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$-$\frac{1}{A{B}^{2}}$，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 利用△ABC中，AD⊥BC，且$\frac{1}{A{C}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$-$\frac{1}{A{B}^{2}}$，证明△ADC∽△BDA，可得∠ACD=∠BAD，即可证明结论．

解答 证明：∵△ABC中，AD⊥BC，且$\frac{1}{A{C}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$-$\frac{1}{A{B}^{2}}$，
∴$\frac{1}{A{C}^{2}}$=$\frac{B{D}^{2}}{A{D}^{2}•A{B}^{2}}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠ACD=∠BAD，
∴∠BAD+∠CAD=∠ACD+∠CAD=90°，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，证明三角形相似是关键．