Question

3．设方程2^x|lnx|=1有两个不等的实根x₁和x₂，则（　　）

• A． x₁x₂＜0
• B． x₁x₂=1
• C． x₁x₂＞1
• D． 0＜x₁x₂＜1

Answer 1

分析 由题意可得y=|lnx|和y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象有两个交点，如图可得设0＜x₁＜1，x₂＞1，求得ln（x₁x₂）的范围，即可得到所求范围．

解答 解：方程2^x|lnx|=1有两个不等的实根x₁和x₂，
即为y=|lnx|和y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象有两个交点，
如图可得设0＜x₁＜1，x₂＞1，
由ln（x₁x₂）=lnx₁+lnx₂=-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
由0＜x₁＜1，x₂＞1，可得2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+x₂＞0，
即为ln（x₁x₂）＜0，即有0＜x₁x₂＜1．
故选：D．

点评 本题考查函数方程的转化思想的运用，注意运用数形结合的思想方法，以及对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．