Question

已知{a_n}为等比数列，其中a₁=1，且a₂，a₃+a₅，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）设b_n=（2n-1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等比数列的通项公式和等差数列的性质求出等比数列的公比，由此能求出数列{

a

n

}的通项公式．
（2）由数列{

a

n

}的通项公式和b_n=（2n-1）•a_n，求出b_n=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，由此利用错位相减求和法能求出
数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设在等比数列{a_n}中，公比为q，
∵a₁=1，且a₂，a₃+a₅，a₄成等差数列，
∴2（a₃+a₅）=a₂+a₄，
∴2（q²+q⁴）=q+q³，
解得q=

1

2

，
∴a_n=(

1

2

)n-1．
（2）∵an=(

1

2

)n-1，
∴b_n=（2n-1）•a_n=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，
∴Tn =1•1+3•

1

2

+5•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+(2n-1)•(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Tn=1+2•[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（2n-1）•(

1

2

)n
=1+2[1-（

1

2

）^n-1]-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列、等差数列的性质，注意错位相减法的合理运用．