Question

如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．则下列函数：①F（x）=

x

；②g（x）=2^x；③h（x）=lnx，x∈[2，+∞），其中是“Л型函数”的序号为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：任意一个三角形三边长满足任意两边之和大于第三边，故由新定义知，判断是否为“Л型函数”，即判断a+b＞c时，是否一定有f（a）+f（b）＞f（c），①③可由不等式性质进行判断，②取特值；分析可得答案．

解答： 解：设0＜a≤b＜c，且a+b＞c①，
对于①只需证明

a

+

b

＞

c

即说明F（x）是“Л型函数”，只需证（

a

+

b

）²＞c即可，即证a+b+2

ab

＞c，结合①，显然成立，所以F（x）是“Л型函数”；
对于②，取a=b=2，c=3，此时2^a+2^b=2^c，所以g（x）=2^x不是“Л型函数”；
对于③，设2≤a≤b＜c，此时只需证lna+lnb＞lnc，即证lnab＞lnc，即证ab＞c，由①知a+b＞c，而ab-（a+b）=ab-a-b+1-1=（a-1）（b-1）-1≥0，即ab≥a+b＞c，∴lna+lnb＞lnc成立，即h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“Л型函数”．
故答案为①③

点评：本题为新定义题，只有正确理解新定义才能准确解题，然后结合新定义将问题转化为具体问题解决．