Question

求函数f（x）=

x2-2x-3

2x2+2x+1

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：将函数y=f（x）=

x2-2x-3

2x2+2x+1

变形为（2y-1）x²+（2y+2）x+y+3=0，由于分母2x²+2x+1=2(x+

1

2

)2+

1

2

＞0，可得函数f（x）的定义域为R．对y分类讨论：当y=

1

2

时，原式变为6x=-7，可得得x=-

7

6

．当y≠

1

2

时，上式对于任意实数x都成立，可得△=（2y+2）²-4（2y-1）（y+3）≥0，解出即可．

解答： 解：将函数y=f（x）=

x2-2x-3

2x2+2x+1

变形为（2y-1）x²+（2y+2）x+y+3=0，
∵分母2x²+2x+1=2(x+

1

2

)2+

1

2

＞0，∴函数f（x）的定义域为R．
①当y=

1

2

时，原式变为6x=-7，解得x=-

7

6

．因此y=

1

2

也满足题意．
②当y≠

1

2

时，上式对于任意实数x都成立，因此△=（2y+2）²-4（2y-1）（y+3）≥0，
化为y²+3y-4≤0，
解得-4≤y≤1，且y≠

1

2

．
综上可知：-4≤y≤1．
当x=-2时，函数f（x）取得最大值1；
当x=-

1

3

时，函数f（x）取得最小值-4．

点评：本题考查了利用“判别式法”求分式类型函数的最值，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．