题目内容
设圆P与圆M：（x+2）2+y2=1和圆N：（x+2）2+y2=1中的一个内切，另一个外切
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若|PM|=2|PN|2，求|PN|的值．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若|PM|=2|PN|2，求|PN|的值．
考点：轨迹方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用已知条件转化P满足的关系式，判断轨迹方程满足的圆锥曲线的定义，求出轨迹方程．
（2）利用双曲线的定义，以及已知条件列出方程求解即可．
（2）利用双曲线的定义，以及已知条件列出方程求解即可．
解答：
解：（1）由题意可得，两圆的圆心分别为M（-2，0）、N（2，0）
因此可得|PM|+1=|PN|-1或|PN|+1=|PM|-1…（4分）
所以||PM|-|PN||=2＜|MN|=4…（5分）
所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长a=1，c=2，b=
的双曲线．…（6分）
所以双曲线的方程为x2-
=1…（8分）
（2）由题意可得|PN|≥1
∵|PM|=2|PN|2，①
知|PM|＞|PN|，
所以|PM|=|PN|+2．②…（9分）
将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，…（10分）
解得|PN|=
，（舍去
）．
所以|PN|=
．…（12分）
因此可得|PM|+1=|PN|-1或|PN|+1=|PM|-1…（4分）
所以||PM|-|PN||=2＜|MN|=4…（5分）
所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长a=1，c=2，b=
| 3 |
所以双曲线的方程为x2-
| y2 |
| 3 |
（2）由题意可得|PN|≥1
∵|PM|=2|PN|2，①
知|PM|＞|PN|，
所以|PM|=|PN|+2．②…（9分）
将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，…（10分）
解得|PN|=
1±
| ||
| 4 |
1-
| ||
| 4 |
所以|PN|=
1+
| ||
| 4 |
点评：本题考查双曲线的定义，轨迹方程的求法，注意条件的应用，考查转化思想以及计算能力．
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