Question

6．在各项为正实数的等差数列{a_n}中，其前2016项的和S₂₀₁₆=1008，则$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{1}{{{a_{1016}}}}$的最小值为（　　）

• A． 6
• B． 4
• C． $\frac{1}{84}$
• D． $\frac{1}{251}$

Answer 1

分析 根据题意和等差数列的前n项和公式求出a₁+a₂₀₁₆=1，由等差数列的性质得a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，利用“1”的代换和基本不等式求出$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{1}{{a}_{1016}}$的最小值．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，S₂₀₁₆=1008，
∴$\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}=1008$，
则a₁+a₂₀₁₆=1，即a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，
∵等差数列{a_n}的各项为正实数，
∴$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{1}{{a}_{1016}}$=$\frac{{a}_{1001}+{a}_{1016}}{{a}_{1001}}+\frac{{a}_{1001}+{a}_{1016}}{{a}_{1016}}$
=2+$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}+\frac{{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$≥2+$2\sqrt{\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}•\frac{{a}_{1001}}{{a}_{1016}}}$=4，
当且仅当时$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}=\frac{{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$取等号，
∴$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{1}{{a}_{1016}}$的最小值是4，
故选B．

点评 本题考查等差数列的前n项和公式、性质的灵活应用，“1”的代换以及基本不等式求最值的应用，考查整体思想、转化思想，化简、变形能力．