Question

14．过点M（-2b，0）做椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两条切线，分别与椭圆交于A、B两点，且MA⊥MB，
（1）求椭圆离心率；
（2）若椭圆的右焦点为F，四边形MAFB的面积为2+$\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）利用垂直关系，求出直线的斜率，写出直线方程与椭圆联立，利用相切关系推出椭圆的离心率．
（2）表示出四边形的面积，然后转化求解b，即可得到椭圆的方程．

解答 解：（1）因为MA⊥MB所以k_AM•k_AN=-1，
由椭圆的对称性可知k_AM=1，k_AN=-1，…（2分）
设直线MA的方程 y=x+2b，联立$\left\{\begin{array}{l}y=x+2b\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，消去y可得：（a²+b²）x²+4ba²x+3a²b²=0…（4分）
△=16b²a⁴-12a²b²（a²+b²）=0，
a²=3b²
$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（6分）
（2）${S_{四边形MAFB}}=2×\frac{1}{2}×|{MF}|×|{y_A}|$…（7分）
由（1）可知a²=3b²
则$2+\sqrt{2}=（2b+\sqrt{2}b）{y_A}$，有${y_A}=\frac{1}{b}={x_A}+2b$
则${x_A}=\frac{1}{b}-2b$…（9分）
由（1）可知a²=3b²，则x²+3y²-3b²=0，
${x_A}^2+3{y_A}^2-3{b^2}=0$，有 b⁴-4b²+4=0…（10分）
所以b²=2，$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质与直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．