Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有（

2

a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设向量

m

=（cos2A+1，3cosA-4），

n

=（5，4），且

m

⊥

n

，求tan（

π

4

+A）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形，求出cosB的值即可，即可确定出B的度数；
（2）由两向量的坐标，及两向量数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理求出cosA的值，进而求出tanA的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanA的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）由条件（

2

a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（

2

sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：

2

sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

2

2

，
又B为三角形内角，
∴B=

π

4

；
 （2）∵向量

m

=（cos2A+1，3cosA-4），

n

=（5，4），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即5（cos2A+1）+4（3cosA-4）=0，
整理得：5cos²A+6cosA-8=0，
解得：cosA=

4

5

或cosA=-2（舍去），
又0＜A＜π，∴A为锐角，
∴sinA=

3

5

，tanA=

3

4

，
则tan（

π

4

+A）=

1+tanA

1-tanA

=7．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．