Question

巳知各项均为正数的等差数列{a_n}前三项的和为27，且满足a₁a₃=65．数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数f（x）=

3x+1

2

-

3

2

的图象上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn =anbn，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列，等比数列公式求解即可得出通项公式，就能够的出答案．
（2）运用错位相减法求解数列的和，分类讨论求解∝

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+a₃=27，
∴a₂=9，
a₁a₃=（9-d）（9+d）=81-d²=65，
d=4，d=-4（舍去），
a_n=a₂+（n-2）×4=4n+1，
S_n=

3n-1

3-1

×3，很明显的等比数列求和，b_n=×3^n-1=3ⁿ
（2）设cn =anbn，数列{c_n}的前n项和T_n．
Tn=5×31+9×32+13×33+…+(4n+1)×3n①
3Tn=5×32+9×33+13×34+…+(4n+1)×3n+1②
由①-②可得：
-2Tn=5×3+4×(32+33+…+3n)-(4n+1)×3n+1
∴Tn=

3

2

+

(4n-1)×3n+1

2

，
故数列{c_n}的前n项和Tn=

3

2

+

(4n-1)×3n+1

2

，
∵d_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）λ，
d_n+1=3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺¹+2）λ，
∴d_n+1-d_n=2×3ⁿ+（-1）ⁿ（3×2ⁿ⁺¹+4）λ，
当n为奇数时，2×3ⁿ-（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞0，
当n为奇数时，2×3ⁿ-（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞0，
λ＜

3n

3×2n+2

=

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

，
n变大时，

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

变大，
即λ＜

3

6+2

=

3

8

，
当n为偶数时，2×3ⁿ+（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞0，
λ＞-

3n

3×2n+2

=-

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

，
n变大时，-

1

3×( 2 3 )n+ 2 3n

变小，
即λ＞-

9

12+2

=-

9

14

，

点评：本题考查了等差数列，等比数列的和，裂项方法求解，运算量大，属于难题．