Question

已知函数f（x）=-

1

x+1

，x∈[3，5]，
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）在[3，5]上递增，应用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤；
（2）运用函数的单调性，即可得到最值．

解答： 解：（1）f（x）在[3，5]上递增．
证明：设3≤m＜n≤5，则f（m）-f（n）=-

1

1+m

+

1

1+n

=

m-n

(1+m)(1+n)

由于3≤m＜n≤5，则m-n＜0，（1+m）（1+n）＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，
则f（x）是[3，5]上的增函数；
（2）由于f（x）是[3，5]上的增函数，则
当x=3时，f（x）取得最小值，且为-

1

4

，
当x=5时，f（x）取得最大值，且为-

1

6

．

点评：本题考查函数的单调性的判断和证明，考查单调性的应用：求最值，属于基础题．