Question

已知函数f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中x＞0，a＞0
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法

专题：分类讨论,转化思想,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）直接利用对数函数真数大于0，对a讨论，即可求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，转化为a＞-x²+3x对x∈[2，+∞）恒成立，利用二次函数的性质求解函数的最值，然后确定a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ） 由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0，因为x＞0，所以x²-2x+a＞0…（1分）
解得a＞1时，定义域为（0，+∞）…（3分）
a=1时，定义域为（0，1）∪（1，+∞）…（5分）
0＜a＜1时，定义域为(0，1-

1-a

)∪(1+

1-a

，+∞)…（7分）
（Ⅱ）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立…（8分）
即a＞-x²+3x对x∈[2，+∞）恒成立…（10分）
记h（x）=-x²+3x，x∈[2，+∞），则只需a＞h（x）_max…（11分）
而h（x）=-x²+3x在[2，+∞）上是减函数，所以h（x）_max=h（2）=2…（13分）
故a＞2…（14分）

点评：本题考查函数的恒成立，函数的定义域，考查计算能力，分类讨论以及转化思想的应用．