Question

15．直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线$y=x+2\sqrt{2}$相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴交于A，B两点，圆内动点P，使得|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出圆心O到直线l的距离得圆的半径r，写出圆的方程即可；
（2）设出点P的坐标，求出A、B的坐标，由PA，PO，PB成等比数列，得出x、y的关系式，再求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围即可．

解答 解：（1）圆心到直线的距离为2，所以可得圆O的方程：x²+y²=4．…（4分）
（2）圆O与x轴交于A，B两点，则A（-2，0），B（2，0），设P（x，y），则
∵|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，
∴${x^2}+{y^2}=\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}$，即x²-y²=2，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x^2}-4+{y^2}=2（{{y^2}-1}）$，
∵x²+y²＜4且x²-y²=2，
∴0≤y²＜1，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围为[-2，0）．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，考查了等比中项的应用问题，是综合题目．