Question

在(

x

-1)9的展开式中任取一项，设所取项含x的次数为非负整数的项的概率为P，则

∫

1 0

x^Pdx等于

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,定积分

专题：二项式定理

分析：(

x

-1)9的展开式中共有10项，由通项公式可得当r=1，3，5，7，9时，可得含x的次数为非负整数的项，可得P=

1

2

，再根据

∫

1 0

x^Pdx=

∫

1 0

 x

1

2

dx=

2

3

•x

3

2

|

1 0

，计算求得结果．

解答： 解：由于(

x

-1)9的展开式中共有10项，通项公式为T_r+1=

C

r 9

•（-1）^r•x

9-r

2

，
故当r=1，3，5，7，9时，可得含x的次数为非负整数的项，
故在(

x

-1)9的展开式中任取一项，所取项含x的次数为非负整数的项的概率为P=

5

10

=

1

2

，
则

∫

1 0

x^Pdx=

∫

1 0

 x

1

2

dx=

2

3

•x

3

2

|

1 0

=

2

3

，
故答案为：

2

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．