Question

如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：

x2

2

+y²=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为4．
（1）求直线PA与AQ的斜率之积；
（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x₁，y₁），A（x₂y₂），联立

x2+2y2=2 y=kx

，得（2k²+1）x²=2，x2=

2

2k2+1

，设Q（-x₁，-y₁），由此能求出直线PA与AQ的斜率之积为-

1

2

．
（2）由kAQ=

y2+y1

x2+x1

=-

1

2k1

，得k_AQ=

k

2

，从而直线AQ的方程为y-（-y₁）=

k

2

[x-(-x1)]，由此能证明直线PB与x轴垂直．

解答： （1）解：设P（x₁，y₁），A（x₂y₂），
联立

x2+2y2=2 y=kx

，得（2k²+1）x²=2，
∴x2=

2

2k2+1

，∴P，Q的横坐标互为相反数，
∴设Q（-x₁，-y₁），
∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，
而kPA=

y2-y1

x2-x1

，kAQ=

y2+y1

x2+x1

，
∴kPA•kAQ=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

，
∵P，A都在椭圆上，∴

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
∴kPA•kAQ=

y22-y12

x22-x12

=

(1- x22 2 )-(1- x12 2 )

x22-x12

=

1 2 (x12-x22)

x22-x12

=-

1

2

，
∴直线PA与AQ的斜率之积为-

1

2

．
（2）证明：∵kAQ=

y2+y1

x2+x1

=-

1

2k1

，而PQ，PA垂直，
∴k1=-

1

k

，∴k_AQ=

k

2

，
∴直线AQ的方程为y-（-y₁）=

k

2

[x-(-x1)]，
令y=0，得y₁=

k

2

(x+x1），
∵点P（x₁，y₁）直线y=kx上，∴y₁=kx₁，
代入得到B点的横坐标为x₀=x₁，
∴直线PB与x轴垂直．

点评：本题考查直线PA与AQ的斜率之积的求法，考查PB与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．