题目内容
平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=4，|AD|=3，|AA1|=5，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
（1）求AC1与AB所成角的余弦值；
（2）求
在
上的投影．
（1）求AC1与AB所成角的余弦值；
（2）求
| AC1 |
| AB |
考点：异面直线及其所成的角,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）首先利用向量的加减运算求出
的模长，进一步利用解三角形知识求出现向量的夹角，最后求出余弦值．
（2）利用（1）的结论，直接求出求
在
上的投影．
| AC1 |
（2）利用（1）的结论，直接求出求
| AC1 |
| AB |
解答：
解：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
=
+
+
则：
2=(
+
+
)2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
由于，|AB|=4，|AD|=3，|AA1|=5，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=60°
所以：|
|=
在△BCC1中，利用余弦定理：BC12=BC2+CC12-2CB•CC1cos∠BCC1
解得：BC1=7
则：在△ABC1中，cos∠C1AB=
=
所以：求AC1与AB所成角的余弦值为
（2）在△ABC1中，cos∠C1AB=
=
则：
在
上的射影为：
|
|cos∠C1AB=
=4
| AC1 |
| AB |
| BC |
| CC1 |
则：
| AC1 |
| AB |
| BC |
| CC1 |
| AB |
| BC |
| CC1 |
| AB |
| BC |
| AB |
| CC1 |
| BC |
| CC1 |
由于，|AB|=4，|AD|=3，|AA1|=5，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=60°
所以：|
| AC1 |
| 97 |
在△BCC1中，利用余弦定理：BC12=BC2+CC12-2CB•CC1cos∠BCC1
解得：BC1=7
则：在△ABC1中，cos∠C1AB=
| AC12+AB2-BC12 |
| 2AC1•AB |
4
| ||
| 97 |
所以：求AC1与AB所成角的余弦值为
4
| ||
| 97 |
（2）在△ABC1中，cos∠C1AB=
| AC12+AB2-BC12 |
| 2AC1•AB |
4
| ||
| 97 |
则：
| AC1 |
| AB |
|
| AC1 |
| 97 |
4
| ||
| 97 |
点评：本题考查的知识要点：向量的加减运算，向量的数量积，向量的夹角，余弦定理的应用，及射影问题的应用，属于中等题型．
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