Question

已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆C₁，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），
（1）求该椭圆C₁的标准方程；
（2）点P是椭圆C₁上的任意一点过P作x轴的垂线，垂足为E，求PE中点G的轨迹方程C₂；
（3）设点A（1，

1

4

），过原点O的直线交C₂于点B，C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C₁的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由于左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），可得c=

3

，a=2，b²=a²-c²，即可得出．
（2）设G（x，y），则E（x，0），利用中点坐标公式可得P（x，2y），代入椭圆C₁的标准方程即可得出．
（3）①当直线BC的斜率存在时，设方程为y=kx，与椭圆方程联立可得x=±

2

1+16k2

．利用弦长公式可得|BC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．利用点到直线的距离公式可得：点A到直线BC的距离d．S_△ABC=

1

2

d|BC|，再利用基本不等式的性质即可得出．
②当直线BC的斜率不存在时，|BC|=1，点A（1，

1

4

）到直线BC的距离d=1，直接得出．

解答： 解：（1）设椭圆C₁的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），∴c=

3

，a=2，b²=a²-c²=1．
∴椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设G（x，y），则E（x，0），∴P（x，2y），
代入椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+4y2=1．
即为PE中点G的轨迹方程C₂．
（3）①当直线BC的斜率存在时，设方程为y=kx，
联立

y=kx x2 4 +4y2=1

，化为x²=

4

1+16k2

，解得x=±

2

1+16k2

．
∴|BC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[0+ 8 1+16k2 ]

=2

2+2k2 1+16k2

．
点A到直线BC的距离d=

|k- 1 4 |

1+k2

．
∴S_△ABC=

1

2

d|BC|=

2

4

16k2-8k+1 16k2+1

=

2

4

1- 8k 16k2+1

=

2

4

•

1+ 8 16(-k)+ 1 -k

≤

2

4

1+1

=

1

2

，当且仅当k=-

1

4

时取等号．
②当直线BC的斜率不存在时，|BC|=2，
点A（1，

1

4

）到直线BC的距离d=1，
∴S_△ABC=

1

2

d|BC|=1．
∴△ABC面积的最大值为1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．