Question

已知|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，且

AO

⊥

OB

，设

OC

=m

OA

+n

OB

（1）若C点满足

AC

=t

CB

，求m+n的值；
（2）若C满足∠AOC=30°，求

m

n

的值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据题意，结合平面向量的线性运算，即可求出m+n的值；
（2）当∠AOC=30°时，画出图形，利用平面向量的平行四边形合成法则，求出

m

n

的值．

解答： 解：（1）∵

OC

=m

OA

+n

OB

，

AC

=t

CB

，
∴

OC

-

OA

=t（

OB

-

OC

），
∴（1+t）

OC

=

OA

+t

OB

，
∴（1+t）（m

OA

+n

OB

）=

OA

+t

OB

；
∴

m(1+t)=1 n(1+t)=t

，
解得m=

1

1+t

，n=

t

1+t

，
∴m+n=

1

1+t

+

t

1+t

=1；
（2）当∠AOC=30°时，如图1，
设AC=x，则OA=

3

x，
∴

3

x=1=m，
∴x=

3

3

；
∴n•

3

=

3

3

，
∴n=

1

3

；
∴

m

n

=

1

1 3

=3；
同理，当

OA

、

OB

、

OC

的位置如图2所示时，

m

n

=-3．
综上，

m

n

的值为3或-3．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了平面向量的线性运算与平面向量的基本定理的应用问题，是综合题目．