Question

A，B是椭圆的右顶点及上顶点，由椭圆弧

x2

4

+y²=1（x≥0，y≥0）及线段AB构成的区域为Ω，P是区域Ω上的任意一点（包括边界），设

OP

=λ

OA

+μ

OB

，则动点M（λ，μ）所形成区域Ω′的面积是

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：先将A、B两点的坐标求出来，代入

OP

=λ

OA

+μ

OB

，用μ、λ将P点坐标表示出来，再根据P在区域Ω内，构造出关于λ、μ的不等式组，化简后根据不等式的几何意义做出点M（λ，μ）的图象，再求其面积．

解答： 解：由椭圆弧

x2

4

+y²=1（x≥0，y≥0）得A（2，0），B（0，1），
∴直线AB方程为

x

2

+y=1，
且

OP

=λ

OA

+μ

OB

=λ（2，0）+μ（0，1）=（2λ，μ），
又∵P是区域Ω上的任意一点（包括边界），
∴

2λ 2 +μ≥1 (2λ)2 4 +μ2≤1 λ＞0，μ＞0

，化简得

λ+μ≥1 λ2+μ2≤1 λ，μ＞0

，
∴M点所在区域是由直线λ+μ=1，圆λ²+μ²=1，以及两坐标轴的正半轴围成的弓形部分，
∴S=

π

4

×12-

1

2

×1×1=

π

4

-

1

2

．
故答案为

π

4

-

1

2

．

点评：这是一个类似于“线性规划”的问题，思路是先根据题意找到点M（λ，μ）的横纵坐标所满足的条件，再结合其几何意义画出图象后，利用公式求出面积．