Question

已知定义在[1-2a，2-a]上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x+e^x，若f（t）＜f（2t-1）．则t的取值范围是（　　）

• A、[-1，1]
• B、[0，1]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[0，

  1

  3

  ）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据复合函数单调性可知当x≥0时，函数为增函数，再由偶函数图象在对称区间上单调性相反，可得当x≤0时，f（x）为减函数，故不等式f（t）＜f（2t-1，可变形为|t|＜|2t-1|，解得t的取值范围．

解答： 解：偶函数f（x）定义域关于原点对称，则1-2a+2-a=0，解得a=1，则函数定义域为[-1，1]，
∵当0≤x≤1时，f（x）=x+e^x，此时函数为增函数，
∴当-1≤x≤0时，f（x）为减函数，
则要使f（t）＜f（2t-1），只需|t|＜|2t-1|，
两边平方，化简得3t²-4t+1＞0，即（3t-1）（t-1）＞0，解得t＜

1

3

，或t＞1，
又由函数定义域有-1≤t≤1，且-1≤2t-1≤1，即0≤t≤1，
所以0≤t＜

1

3

，
故选：D．

点评：本题考查的知识点是函数单调性，函数奇偶性的综合应用，及绝对值不等式的解法，综合性强，难度中档．