题目内容
若f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是 ．
考点：函数的最值及其几何意义
专题：导数的综合应用
分析：根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可．
解答：
解：∵f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，
∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），
即
，解得a=-8，b=15，
即f（x）=（1-x2）（x2-8x+15）=-x4+8x3-14x2-8x+15，
则f′（x）=-4x3+24x2-28x-8=-4（x-2）（x2-4x-1），
由f′（x）=0，解得x=2或x=2+
或x=2-
，
由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+
或x＜2-
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得2-
＜x＜2或x＞2+
，此时函数单调递减，
作出对应的函数图象如图：
则当x=2+
或2+
时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值
则f（2+
）=16，
故答案为：16
∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），
即
|
即f（x）=（1-x2）（x2-8x+15）=-x4+8x3-14x2-8x+15，
则f′（x）=-4x3+24x2-28x-8=-4（x-2）（x2-4x-1），
由f′（x）=0，解得x=2或x=2+
| 5 |
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由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+
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| 5 |
由f′（x）＜0，解得2-
| 5 |
| 5 |
作出对应的函数图象如图：
则当x=2+
| 5 |
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则f（2+
| 5 |
故答案为：16
点评：本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，E，F分别是BC，CD的中点，且
•
=-15，则∠ABC=（ ）
| DE |
| BF |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
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已知定义在[1-2a，2-a]上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=x+ex，若f（t）＜f（2t-1）．则t的取值范围是（ ）
| A、[-1，1] | ||
| B、[0，1] | ||
C、[
| ||
D、[0，
|