Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，E为CC₁中点．求证：A₁O⊥OE．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：利用线面垂直的判定定理证明DB⊥平面A₁ACC₁ ，证得A₁O⊥DB．再用勾股定理证明A₁O⊥OE．

解答：
证明：连接EO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2

，tan∠EOC=

2

2

，∴∠AA₁O=∠EOC，
则∠A₁OA+∠EOC=90°．
∴A₁O⊥OE．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，属于基本知识的考查．