Question

2．如右图抛物线顶点在原点，圆（x-2）²+y²=2²的圆心恰是抛物线的焦点，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），由已知得p=4．即可得抛物线的方程．
（Ⅱ）依题意直线AB的方程为y=2x-4
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得x²-6x+4=0，
|AD|=x₁+x₂+p=6+4=10．可得|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵圆（x-2）²+y²=2²的圆心恰是抛物线的焦点，∴p=4．
∴抛物线的方程为：y²=8x；
（Ⅱ）依题意直线AB的方程为y=2x-4
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，得x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6，|AD|=x₁+x₂+p=6+4=10．
|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6．

点评 本题考查了抛物线的方程、性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．