Question

11．已知数列{a_n}的各项都是正数，a₁=1，a_n+1²=a_n²+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$（n∈N^*）
（1）求证：$\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}（n-2）}{2n}}$≤a_n＜2（n≥2）
（2）求证：1²（a₂-a₁）+2²（a₃-a₂）+…+n²（a_n+1-a_n）＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由条件得a_n²-a_n-1²≥$\frac{\sqrt{2}}{（n-1）^{2}}$，a_n-1²-a_n-2²≥$\frac{\sqrt{2}}{（n-2）^{2}}$，…，a₃²-a₂²≥$\frac{\sqrt{2}}{{2}^{2}}$，各式累加后放缩得出结论；
（2）由条件得n²（a_n+1-a_n）=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{n}^{2}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$$＞\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8{n}^{2}}$，各式累加后放缩得出结论．

解答 证明：（1）∵a_n＞0，a_n+1²=a_n²+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，∴a_n+1＞a_n，
∴{a_n}是递增数列．
由a₁=1，得a₂=$\sqrt{2}$，
当n≥2时，a_n+1²-a_n²=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{{n}^{2}}$，
∴a_n²-a_n-1²≥$\frac{\sqrt{2}}{（n-1）^{2}}$，a_n-1²-a_n-2²≥$\frac{\sqrt{2}}{（n-2）^{2}}$，…，a₃²-a₂²≥$\frac{\sqrt{2}}{{2}^{2}}$，
以上各式相加得：a_n²-a₂²≥$\sqrt{2}$（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$），
而$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$≥$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$=（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{4}$+…$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{n-2}{2n}$，
∴a_n²-2≥$\frac{\sqrt{2}（n-2）}{2n}$，即a_n²≥2+$\frac{\sqrt{2}（n-2）}{2n}$，
∴a_n≥$\sqrt{2+\frac{\sqrt{2}（n-2）}{2n}}$，
又a_n+1²=a_n²+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=（a_n+$\frac{1}{2{n}^{2}}$）²-$\frac{1}{4{n}^{4}}$＜（a_n+$\frac{1}{2{n}^{2}}$）²，
∴a_n+1＜a_n+$\frac{1}{2{n}^{2}}$，即a_n+1-a_n＜$\frac{1}{2{n}^{2}}$，
∴a_n-a_n-1＜$\frac{1}{2（n-1）^{2}}$，a_n-1-a_n-2＜$\frac{1}{2（n-2）^{2}}$，…，a₃-a₂＜$\frac{1}{2•{2}^{2}}$，a₂-a₁＜$\frac{1}{2•{1}^{2}}$，
以上各式相加得：a_n-a₁＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$）＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-2）（n-3）}$）=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{n-2}$）＜1，
∴a_n＜a₁+1=2．
（2）∵a_n+1²=a_n²+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，
∴n²（a_n+1²-a_n²）=a_n，
∴n²（a_n+1-a_n）=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，
又a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$＜$\frac{1}{2{n}^{2}}$，
∴n²（a_n+1-a_n）=$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{n}^{2}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$$＞\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8{n}^{2}}$，
∴1²（a₂-a₁）+2²（a₃-a₂）+…+n²（a_n+1-a_n）＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{8}$（1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$）=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{8}$（1+1-$\frac{1}{n}$）＞$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了不等式的证明，合理使用放缩法是证明的关键，属于中档题．