Question

13．已知$\overrightarrow a=（{1，cosx}），\overrightarrow b=（{\frac{1}{3}，sinx}），x∈（{0，π}）$，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$
（1）求$\frac{{sin（\frac{π}{2}+x）+cos（\frac{3π}{2}+x）}}{{cos（\frac{5π}{2}-x）+sin（\frac{7π}{2}-x）}}$的值；
（2）求sin²x+sinxcosx的值．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标结合向量共线可得tanx=$\frac{1}{3}$．
（1）利用三角函数的诱导公式化简，进一步化弦为切求值；
（2）把分母看作sin²x+cos²x，分子分母同时除以cos²x，化为正切得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴sinx=$\frac{1}{3}cosx$，得tanx=$\frac{1}{3}$．
（1）$\frac{{sin（\frac{π}{2}+x）+cos（\frac{3π}{2}+x）}}{{cos（\frac{5π}{2}-x）+sin（\frac{7π}{2}-x）}}=\frac{cosx+sinx}{sinx-cosx}=\frac{1+tanx}{tanx-1}=\frac{{1+\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3}-1}}=-2$；
（2）${sin^2}x+sinxcosx=\frac{{{{sin}^2}x+sinxcosx}}{{{{sin}^2}x+{{cos}^2}x}}=\frac{{{{tan}^2}x+tanx}}{{{{tan}^2}x+1}}=\frac{{{{（\frac{1}{3}）}^2}+\frac{1}{3}}}{{{{（{\frac{1}{3}}）}^2}+1}}=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查运用诱导公式化简求值，是基础题．