Question

已知函数f（x）=x²+2x+3，当x∈[t，t+1]，f（x）≥t恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得t小于或等于f（x）在[t，t+1]上的最小值，分t≥-1、t＜-1＜t+1、t+1≤-1 三种情况，分别求得f（x）的最小值，从而求得t的范围．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，当x∈[t，t+1]，f（x）≥t恒成立，
故t小于或等于f（x）在[t，t+1]上的最小值．
当t≥-1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，最小值为f（t）=t²+2t+3，
由

t≥-1 t2+2t+3≥t

求得t≥-1．
当t＜-1＜t+1时，f（x）的最小值为f（-1）=2，
由

t＜-1＜t+1 2≥t

，求得-2＜t＜-1．
当t+1≤-1，f（x）在[t，t+1]上是减函数，f（x）的最小值为f（t+1）=t²+4t+6，
由

t+1≤-1 t2+4t+6≥t

，求得 t≤-2．
综上可得t的范围是R．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．