题目内容
设△ABC的三边分别是a、b、c，且a+b+c=3，求证：3≤a2+b2+c2＜
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考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：利用余弦定理和乘法公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即可证明右边；利用3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，即可证明左边．
解答：
解：先证明右边：∵a2+b2-2abcosC=c2，a2+c2-2accosB=b2，b2+c2-2bccosA=a2，
∴a2+b2+c2=2abcosC+2accosB+2bccosA＜2ab+2ac+2bc，
∴2（a2+b2+c2）＜（a+b+c）2=32=9，
∴a2+b2+c2＜
，即右边成立．
再证明左边：∵（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2≥0，
∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2ac+2bc，
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=32，
∴a2+b2+c2≥3，当且仅当a=b=c时取等号，即左边成立．
综上可知：3≤a2+b2+c2＜
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∴a2+b2+c2=2abcosC+2accosB+2bccosA＜2ab+2ac+2bc，
∴2（a2+b2+c2）＜（a+b+c）2=32=9，
∴a2+b2+c2＜
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再证明左边：∵（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2≥0，
∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2ac+2bc，
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=32，
∴a2+b2+c2≥3，当且仅当a=b=c时取等号，即左边成立．
综上可知：3≤a2+b2+c2＜
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点评：本题考查了余弦定理、乘法公式和“放缩法”的应用，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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