Question

16．（1）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x满足f（-x）=-f（x）则称f（x）为局部函数，已知二次函数f（x）=ax²+2x-4a（a∈R，a≠0）是定义域在R上的局部函数，则满足f（-x）=-f（x）的x值是±2
（2）若直角坐标平面内两点A、B满足条件：点A、B都在f（x）的图象上；点A、B关于原点对称，则对称点（A、B）对是函数的一个姊妹点对点对（A、B）与（B、A）可看做一个姊妹点对．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{\frac{2}{{e}^{x}}，x≥0}\end{array}\right.$则f（x）的姊妹点对个数为2．

Answer 1

分析 （1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义计算即可；
（2）根据题意：“姊妹点”，可知，欲求f（x）的“姊妹点”，只须作出函数y=x²+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=$\frac{2}{{e}^{x}}$（x≥0）交点个数即可．

解答 解：（1）若f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
当f（x）=ax²+2x-4a时，
由f（-x）+f（x）=0得2a（x²-4）=0
解得x=±2，
（2）根据题意：“姊妹点对”，可知，
只须作出函数y=x²+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，
看它与函数y=$\frac{2}{{e}^{x}}$（x≥0）交点个数即可．如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2．
即f（x）的“姊妹点对”有：2个．
故答案为：±2，2．

点评 本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，合理地利用图象法解决，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．