Question

1．三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=6，BC⊥AC，D，E分别是线段AB．BC上的点，且CD=DE=2$\sqrt{2}$，CE=2EB=4
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；
（Ⅱ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PCD所成角为30°，求$\frac{PQ}{PB}$的值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由PC⊥平面ABC得PC⊥DE，由勾股定理逆定理得出DE⊥CD，于是DE⊥平面PCD；
（II）取CE中点F，连接DF，则DF⊥CE，故而DF∥AC，利用比例式得出AC，以C为原点建立坐标系，设$\frac{PQ}{PB}$=λ，求出$\overrightarrow{QC}$和$\overrightarrow{DE}$的坐标，令|cos＜$\overrightarrow{QC}，\overrightarrow{DE}$＞|=$\frac{1}{2}$解出λ；
（III）求出平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$，计算cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DE}$＞，从而得出二面角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，
∴PC⊥DE，
∵CD=DE=2$\sqrt{2}$，CE=4，
∴CD²+DE²=CE²，∴CD⊥DE，
又PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴DE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由（I）知△CDE为等腰直角三角形，
取CE中点F，连接DF，则DF⊥CE，
且CF=DF=EF=2，
又AC⊥BC，∴DF∥AC．
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{4}{6}$，
∴AC=3．
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），P（0，0，6），D（2，2，0），A（3，0，0），B（0，6，0），E（0，4，0）．
∴$\overrightarrow{PB}$=（0，6，-6），$\overrightarrow{DE}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，0，-6）．
设$\frac{PQ}{PB}=λ$，则$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PB}$=（0，6λ，-6λ）．∴$\overrightarrow{QC}$=$\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PQ}$=（0，-6λ，6λ-6）．
∵DE⊥平面PCD，∴$\overrightarrow{DE}$=（-2，2，0）是平面PCD的一个法向量，
又直线QC与平面PCD所成角为30°，
∴|cos＜$\overrightarrow{QC}，\overrightarrow{DE}$＞|=$\frac{1}{2}$，即$\frac{12λ}{2\sqrt{2}•\sqrt{36{λ}^{2}+（6λ-6）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）$\overrightarrow{AD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，6），
设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{-3x+6z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1）．
又平面PCD的法向量为$\overrightarrow{DE}$=（-2，2，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{6}•2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∵二面角A-PD-C为锐二面角，
∴二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．