Question

已知二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于两点A，B（x_A＜x_B），与y轴交于点C，△ABC的外接圆的圆心为M（1，-1），斜率为3的直线l与⊙M交于不同两点E，F，且满足ME⊥MF．
（1）求点A，B，C的坐标及⊙M的半径R的值；
（2）求直线l的方程；
（3）设P是直线l上的动点，且点A，C在l的同侧，求||PA|-|PC||的最大值及取得最大值时点P的坐标．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,直线与圆锥曲线的关系

专题：直线与圆

分析：直接在函数解析式中取y=0求得A，B的坐标，取x=0求得C的坐标，结合给出的圆心坐标求得圆的半径；
（2）由（1）知圆的方程，设出直线l为y=3x+b，和圆的方程联立后利用根与系数关系求得直线与圆两交点的横纵坐标的积，结合ME⊥MF列式求得b，则直线方程可求；
（3）由点A，C在l的同侧可得l的方程为3x-y-2-

19

=0．连接AC并延长交l与D，则D点为所求满足条件的点，求出AC的方程后和已知直线方程联立求得||PA|-|PC||的最大值及取得最大值时点P的坐标．

解答： 解：（1）在y=x²-2x-3中，取y=0，得x²-2x-3=0，解得：x_A=-1，x_B=3，
取x=0，解得y_C=-3，
∴点A，B，C的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；
又圆心为M（1，-1），∴⊙M的半径R=|MA|=

22+(-1)2

=

5

；
（2）由（1）知圆的方程为（x-1）²+（y+1）²=5，
设直线l为y=3x+b，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
联立

y=3x+b (x-1)2+(y+1)2=5

，得10x²+（6b+4）x+b²+2b-3=0．
△=（6b+4）²-40（b²+2b-3）=-4b²-32b+136＞0，即b²+8b-34＜0．
x1+x2=-

3b+2

5

，x1x2=

b2+2b-3

10

，
y1y2=(3x1+b)(3x2+b)=9x1x2+3b(x1+x2)+b2
=

9b2+18b-27

10

-

9b2+6b

5

+b2=

b2+6b-27

10

．
∵ME⊥MF，
∴x1x2+y1y2=

2b2+8b-30

10

=0，即b=-2±

19

．
∴直线l的方程为y=3x-2-

19

或y=3x-2+

19

；
（3）∵点A，C在l的同侧，∴l的方程为3x-y-2-

19

=0．
连接AC并延长交l与P，则P点为所求满足条件的点，
此时AC方程为3x+y+3=0，
联立

3x-y-2- 19 =0 3x+y+3=0

，解得

x= 19 -1 3 y=- 19 -2

．
∴使||PA|-|PC||取得最大值的点P的坐标为（

19 -1

3

，-

19

-2），
最大值为|AC|=

(-1)2+(-3)2

=

10

．

点评：本题考查了圆的方程的求法，考查了直线和圆的位置关系，训练了直线上的动点与两定点连线距离差的绝对值的最大值的求法，考查了计算能力，是中档题．