Question

已知动圆C过点（1，0）且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹E方程；
（2）设A，B为轨迹E上异于原点O的两个不同点，直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，且α+β=45°．当α，β变化时，求证：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设动圆圆心M（x，y），由题设条件推导出点M的轨迹是以（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，由此能求出动圆圆心C的轨迹方程．
（2）设OA：y=kx，则OB：y=

1-k

1+k

x，联立方程求出A，B坐标，进而利用斜率公式可证得A、B、Q（-4，4）三点共线．

解答： 解：（1）设动圆圆心M（x，y），
∵动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切，
∴点M的轨迹是以（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线…（2分）
其方程为y²=4x．
∴动圆圆心C的轨迹方程是y²=4x．…（3分）
证明：（2）设OA：y=kx（k∈（0，1））
则OB的斜率k_OB=tanβ=tan（45°-α）=

1-k

1+k

，
∴OB：y=

1-k

1+k

x
由

y=kx y= 1-k 1+k x

，可得：A（

4

k2

，

4

k

），
由

y2=4x y= 1-k 1+k x

可得：B（

4(1+k)2

(1-k)2

，

4(1+k)

1-k

），
下证A、B、Q（-4，4）三点共线：
∵k_QA-k_QB=

4 k -4

4 k2 +4

-

4(1+k) 1-k -4

4(1+k)2 (1-k)2 +4

=

k(1-k)

1+k2

-

k(1-k)

1+k2

=0
∴直线AB恒过定点Q（-4，4）．…（10分）

点评：本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查直线过某一定点的判断与证明，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．