Question

设M是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的一点，F₁，F₂为焦点，∠F₁MF₂=

π

6

，则△MF₁F₂的面积为（　　）

• A、

  16

  3

  3

• B、16(2+

  3

  )
• C、16(2-

  3

  )
• D、16

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的定义和余弦定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|，结合三角形的面积公式，可得△MF₁F₂的面积

解答： 解：∵椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1上的一点，F₁，F₂为焦点，∠F₁MF₂=

π

6

，
∴a²=25，b²=16，可得c²=a²-b²=9，即a=5，c=3，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则有m+n=10，
∵∠F₁MF₂=

π

6

，
∴36=m²+n²-2mncos

π

6

∵（m+n）²=m²+n²+2mn，
∴mn=

64

2+ 3

，
∴|PF₁|•|PF₂|=

64

2+ 3

．
∴△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin

π

6

=

1

2

•

64

2+ 3

•

1

2

=16（2-

3

）．
故选：C．

点评：本题给出椭圆的焦点三角形，求它的面积，着重考查了余弦定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．