Question

a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是（　　）

• A、sinA+cosA=

  1

  5

• B、tanA+tanB+tanC＞0
• C、b=3，c=3，B=30°
• D、

  AB

  •

  BC

  ＜0

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：①两边同时平方可得，sinAcosA=-

12

25

＜0，从而可判断△ABC为钝角三角形．
②利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理．
③由b=3，c=3，B=30°，可得C=30°，A=180°-B-C=120°，可得结论．
④由

AB

•

BC

＜0，可得180°-B 为钝角，故B为锐角，但A、C两个角无法判断是锐角还是钝角．

解答： 解：△ABC中，把sinA+cosA=

1

5

平方可得 sinA•cosA=-

12

25

＜0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，故排除选项A．
由tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角A、B、C都是锐角，得出△ABC为锐角三角形，故选项B满足条件．
由b=3，c=3，B=30°，可得C=30°，A=180°-B-C=120°，故△ABC为钝角三角形，故排除选项C．
由

AB

•

BC

＜0，可得180°-B 为钝角，故B为锐角，但A、C两个角无法判断是锐角还是钝角，故不能推出△ABC为锐角三角形，
故选：B．

点评：本题以三角形的形状的判断为载体，主要考查了同角平方关系、向量的夹角的定义、正弦定理及两角和的正切公式的综合应用，属于中档题．