Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+b（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

，b∈R）在一个周期内的部分对应值如下表：

x	- π 4	0	π 12	π 4	π 2	3π 4
y	0	1	3 2	2	1	0

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设点A（

π

4

，0），B（-

π

4

，0），对于函数f（x）图象上的点P（x₁，f（x₁））（-

π

4

＜x＜

π

4

），若在函数f（x）的图象上存在点Q，满足

PQ

+

AB

=0，求出点Q的坐标．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由表格给出的信息知T=π，从而可求得ω=2，再由表中各点均在图象上，代入可得φ的值，b的值，于是可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知求得

AB

，

PQ

的坐标，代入已知P点的坐标，即可求得点Q的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由表格给出的信息可以知道，函数f（x）的周期为T=

3π

4

-（-

π

4

）=π，
∴ω=

2π

π

=2．
由sin（2×（-

π

4

）+φ）+b=0，可得：b=cosφ…①
由sin（2×0+φ）+b=1，可得sinφ=b-1…②
由sin（2×

π

4

+φ）+b=2，可得cosφ=2-b…③
由①②可解得：b²+（b-1）²=1，从而解得：b=1或b=0
∵b=0时，由③可得cosφ=2，故舍去，
∴b=1．
∴sinφ=0，cosφ=1，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=0．
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin2x+1．
（Ⅱ）∵点P的坐标为：（x₁，f（x₁））（-

π

4

＜x＜

π

4

），点A的坐标为：（

π

4

，0），B的坐标为：（-

π

4

，0），
∴

AB

=（-

π

2

，0）
∵

PQ

+

AB

=0，
∴

PQ

=（

π

2

，0），
∴点Q的坐标为：（x₁+

π

2

，f（x₁））．

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，平面向量及应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．